看了上次的scratch入門文章后，是不是感覺(jué)躍躍欲試了，上次我們體驗(yàn)了scratch的畫筆功能，那我們今天就嘗試下用畫筆來(lái)畫幾何圖形吧。

上次用了畫筆工具后，編者興致盎然，一直想著用畫筆工具畫點(diǎn)什么？

本來(lái)想畫個(gè)三角形或正方形之類的，沒(méi)想到一發(fā)不可收拾，畫了很多很多正多邊形出來(lái)了，大家來(lái)欣賞下吧。

為了追求視覺(jué)上的統(tǒng)一，看起來(lái)沒(méi)那么雜亂，干脆在同一個(gè)圓內(nèi)畫了這么多正多邊形。不過(guò)雖然看著很簡(jiǎn)單，可是對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)可能還有點(diǎn)難度，因?yàn)檫@里面用到了若干三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。

我們先不管上面的視頻，我們先想想，如果要畫個(gè)正方形，我們要怎么做呢？

畫正方形

如果只畫個(gè)小正方形的話，可能很簡(jiǎn)單。

畫之前特意問(wèn)了我家的小朋友，小朋友只是說(shuō)正方形方方正正的，四條邊一樣長(zhǎng)。

方方正正是個(gè)什么意思呢？用稍微書面點(diǎn)的文字來(lái)描述，正方形主要有兩點(diǎn)性質(zhì)：

• 正方形有四條等長(zhǎng)的邊

• 正方形的每個(gè)角是直角

當(dāng)我們用scratch畫正方形的時(shí)候，就會(huì)牽涉到下面兩個(gè)問(wèn)題：

• 連續(xù)畫4條線段

• 連續(xù)的2條線段是互相垂直的（直角）

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“落筆”開始畫

回憶下上節(jié)課的內(nèi)容，我們用畫筆工具畫線段的時(shí)候，是不是先要拿起畫筆往“舞臺(tái)區(qū)”上“落筆”呢？

如果我們不能確定“落筆”是什么意思，可以右擊“落筆”按鈕，然后再點(diǎn)擊旁邊所彈出的“幫助”按鈕，會(huì)看到“腳本區(qū)”上面會(huì)打開一個(gè)頁(yè)面，彈出如下提示和示例：

沒(méi)錯(cuò)吧，“落筆”后再移動(dòng)100步，小蟲子后面就會(huì)畫出一條線段。

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畫線段

依樣畫葫蘆，我們也這樣搞，看看能不能畫出一條線段呢？

看到?jīng)]有，當(dāng)我們點(diǎn)擊“旗幟”運(yùn)行的時(shí)候，左邊“舞臺(tái)區(qū)”就畫上了一條藍(lán)色的線段。畫完以后我們“抬筆”，畫筆抬起來(lái)了，表示畫完了。

最后的“移到x:0 y:0”表示畫筆放回中心點(diǎn)，方便下次用。當(dāng)然，還可以防止畫筆跑出了“舞臺(tái)區(qū)”。

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畫直角

我們按照上面的方法，連續(xù)畫2條線段，2條線段之間形成一個(gè)夾角，怎么確保夾角是90度呢？

這里牽涉到角度的問(wèn)題，小學(xué)低年級(jí)的小朋友可能還不知道轉(zhuǎn)一圈是360度，360度四等分成4個(gè)直角，每個(gè)直角就是90度。

我們知道了直角是90度后，用“運(yùn)動(dòng)模塊”里的右轉(zhuǎn)/左轉(zhuǎn)工具轉(zhuǎn)個(gè)90度再畫第2條線段，那這連續(xù)的2條線段形成的夾角就是直角。

我們調(diào)整下腳本。

哈哈，直角搞定了。

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重復(fù)右轉(zhuǎn)4次搞定正方形

那我們?cè)倮^續(xù)轉(zhuǎn)幾次正方形不就搞定了？

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利用循環(huán)控制來(lái)簡(jiǎn)化腳本

這樣雖然搞定了，但腳本看起來(lái)有點(diǎn)重復(fù)，腳本里的移動(dòng)100步都用了4次，還記得“控制”模塊里的“重復(fù)執(zhí)行”功能嗎？我們用它來(lái)精簡(jiǎn)下。

看起來(lái)是不是精簡(jiǎn)些了呢？

畫個(gè)三角形？

正方形搞定了，我們嘗試來(lái)畫個(gè)正三角形吧？！

和前面的區(qū)別，主要就是轉(zhuǎn)向的角度不一樣了吧，正方形是轉(zhuǎn)90度，三角形應(yīng)該轉(zhuǎn)多少度呢？

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三角形的性質(zhì)

正三角形有哪些特性呢：

• 三條邊相等

• 三角形內(nèi)角和是180度，正三角形每個(gè)角是60度

那我們連續(xù)畫線段的時(shí)候，是不是每次轉(zhuǎn)個(gè)60度，回到起點(diǎn)后，就把一個(gè)正三角形畫好了呢？

oh,my god!說(shuō)好的三角形呢，怎么變成連續(xù)的幾條線段呢？不過(guò)線段看起來(lái)很有規(guī)律的，我們?cè)俣嘀貜?fù)畫幾條試試吧。

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失敗的三角形=六邊形

明明我們想畫個(gè)正三角形，可是畫出來(lái)的偏偏是個(gè)正六邊形？

想想，哪里搞錯(cuò)了呢？原來(lái)呀，是我們的角度轉(zhuǎn)得不對(duì)。

真是無(wú)心插柳柳成蔭啊，我們明明想畫個(gè)正三角形，因?yàn)榉较蜣D(zhuǎn)錯(cuò)了，竟然畫出個(gè)正六邊形出來(lái)了。

其實(shí)啊，如果左轉(zhuǎn)120度（和右轉(zhuǎn)60度等價(jià)），畫出來(lái)的就是正三角形了吧。

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正十二邊形

塞翁失馬，焉知禍福？我們本來(lái)想畫3條邊的正三角形，卻畫出了6條邊的正六邊形。如果我們把左轉(zhuǎn)的度數(shù)縮小一半到30度，把重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)增加一倍到12次，看看能畫出個(gè)什么來(lái)呢？

當(dāng)然了，畫過(guò)一次后，我們發(fā)現(xiàn)舞臺(tái)區(qū)不大，得把移動(dòng)的步伐縮小點(diǎn)，不然又畫出去了。

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正二十四邊形

哈哈，繼續(xù)，正二十四邊形都出來(lái)了，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

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圓

明明是想畫正48邊形的，為什么看起來(lái)這么像圓？其實(shí)小朋友不知道的是，我們古時(shí)候的祖沖之呀，計(jì)算圓周率的時(shí)候，就是用這樣的割圓術(shù)去逼近圓的。當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越大的時(shí)候，畫出來(lái)的圖形，越來(lái)越接近于圓。

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找規(guī)律

小朋友學(xué)數(shù)學(xué)，要善于找規(guī)律。

我們畫了正六邊形、正12邊形、正24邊形、正48邊形，結(jié)合每次轉(zhuǎn)的角度，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

細(xì)心的小朋友可能還真發(fā)現(xiàn)了？我們把角度乘以邊的個(gè)數(shù)，怎么乘積都是360度呢？

如果是正三角形，那3條邊，左轉(zhuǎn)的角度應(yīng)該是360/3=120度吧。

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正三角形

還真是這樣，原來(lái)畫三角形的時(shí)候得左轉(zhuǎn)120度呢。

綜合上面所畫的正多邊形，其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)定理：

多邊形外角和等于360度

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正N邊形

依賴于這個(gè)性質(zhì)，我們就可以根據(jù)上面的腳本畫出任意正多邊形，譬如畫個(gè)正n邊形，那我們只要左轉(zhuǎn)360/n度就可以。

當(dāng)然了，要控制下步數(shù)，免得畫到“舞臺(tái)區(qū)”外面去了。

組合成動(dòng)畫？

知道了制作各類多邊形后，那我怎么依次把這些正多邊形畫個(gè)遍呢？

當(dāng)然了，從上節(jié)內(nèi)容來(lái)看，多邊形邊數(shù)變大了，無(wú)非就是越來(lái)越像圓了，邊數(shù)大了后，憑我們的眼睛又看不出差別，所以啊，我們畫前面10多個(gè)正多邊形就好了。

那我們得想想，每次循環(huán)畫正多邊形的時(shí)候，多邊形的邊數(shù)是不是不斷變化的呢？這個(gè)要怎么實(shí)現(xiàn)？

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變量

循環(huán)的時(shí)候不斷變化的值，我們可以存在變量里。

譬如，我們定義一個(gè)變量num，專門來(lái)存放正多邊形的邊數(shù)。

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雙層循環(huán)控制

我們每次畫一個(gè)正多邊形num的時(shí)候，需要循環(huán)num次才能把該多邊形畫好，前面提到過(guò)，num變化的時(shí)候，我們也需要用一層循環(huán)來(lái)控制，那這樣就需要兩層循環(huán)來(lái)控制。

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完整腳本

全部腳本如下所示：

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動(dòng)畫效果圖

為了看起來(lái)不至于太單調(diào)，每畫一邊的時(shí)候隨機(jī)設(shè)置了畫筆的顏色。

另外一種形式的動(dòng)畫？

不知道大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，前面這個(gè)五彩繽紛的動(dòng)畫，有一個(gè)一直不變的東西，那就是正多邊形的邊長(zhǎng)，我們每次循環(huán)畫邊的時(shí)候，移動(dòng)的步數(shù)都是30步吧。

那我們現(xiàn)在換一種方式，我們繪制所有的正多邊形，外接圓都重合的話要怎么畫呢？

什么叫外接圓重合呢，每個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)共圓，我們要讓所有多邊形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)外接圓上。

那這些正多邊形之間有哪些共同的特性呢？

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不變的常量——外接圓半徑

所有正多邊形中，從圓心到任意一個(gè)多邊形的端點(diǎn)，也就是圓的半徑，一直是不變的。

還記得前面做的那個(gè)動(dòng)圖，不變的是什么嗎？不變的是邊長(zhǎng)。

為了方便在腳本里編寫調(diào)試，我們將這個(gè)不變的半徑設(shè)置成一個(gè)常量R。當(dāng)然，在scratch里其實(shí)都是變量。

我們將邊數(shù)也設(shè)置成一個(gè)變量Num。

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固定出發(fā)點(diǎn)，調(diào)整好繪制方向

為了方便繪制，我們計(jì)劃所有的正多邊形統(tǒng)一從坐標(biāo)系中的某個(gè)點(diǎn)出發(fā)，譬如坐標(biāo)系中的點(diǎn)E｛x=0,y=R｝。

在scratch中，我們每次繪制一個(gè)正多邊形的時(shí)候，都要將位置移動(dòng)到{0,R}這個(gè)點(diǎn)，然后面朝某個(gè)方向開始繪制。

而對(duì)于正Num邊形來(lái)說(shuō)，這里我們?nèi)um=6，也就是我們以正六邊形為例。當(dāng)我們把位置移動(dòng)到{0,R}的時(shí)候，第一條線繪制的方向是不是線段DE的方向呢？

最初我們從圓心O{0,0}往上移動(dòng)到E{0,R}的時(shí)候，是朝正北的，到了E點(diǎn)后，要轉(zhuǎn)向到ED的方向，如下圖所示：

通過(guò)上個(gè)動(dòng)畫的制作，我們知道所有正多邊形的外角和是360度，所以每個(gè)正多邊形的內(nèi)角是180-360/Num，所以從OE轉(zhuǎn)向DE，線段要面向的方向是180-（180-360/Num）/2=90+180/Num。對(duì)于正六邊形來(lái)說(shuō)，就是要面向120度的方向。

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邊長(zhǎng)

在六邊形中，我們確定好起點(diǎn)E和方向后，我們還有確定好線段ED的長(zhǎng)度。

其實(shí)，我們很容易知道角HOE為360/Num/2=180/Num。

根據(jù)正弦定理，易知線段EH=R*sin(180/Num)，所以線段DE的長(zhǎng)度就是線段EH的兩倍，也就是2R*sin(180/Num)。

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右轉(zhuǎn)方向

線段ED繪制好了以后，我們從線段ED轉(zhuǎn)向線段DC，右轉(zhuǎn)的度數(shù)是不是一個(gè)外角那么大呢？外角和是360度，那這個(gè)外角就是360/Num。

那這樣循環(huán)Num次，正Num邊形是不是畫好了呢？

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完整腳本

完整腳本如下所示：

完整效果圖如下，和前面的視頻相比，只是增加了隨機(jī)色而已。

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